2008年03月11日
稠密
ちゅうみつ！
稠密（ちゅうみつ、ちょうみつ、dense）とは、一般に密集しているさま・ぎっしり詰まっているさまを表す語である。本項では数学用語としての稠密について詳述する。
数学における稠密という用語は、主に次の二つの文脈で用いられる。どちらも直感的にはぎっしり詰まっているということを表している。
位相空間 S の部分集合 T が、S において稠密（位相構造における稠密）
全順序集合 S が稠密（順序構造の特徴としての稠密）
二つの集合の関係が稠密かどうかを論じるためには、その集合に位相構造が定められている必要がある。順序集合には標準的な位相構造（順序位相）が付加できるので、後述するように上記の二つの文脈は全く関連がないというわけではない。
位相構造を持つ集合（すなわち位相空間）S の部分集合 T が、S において稠密であるとは、T の閉包が S となることをいう。これは S が距離空間の場合は、S の任意の元 x に対し、T の元の列で x に収束するものが取れることと同値である。反対に T の補集合 S - T が S において稠密である場合、T は S において疎 (nowhere dense) であるという。また、位相空間は、稠密で高々可算な部分集合を持つとき、可分 (separable) であるといわれる。
例えば、実数全体の成す集合 R で通常の位相構造を考えた場合、有理数全体の成す集合 Q は R において稠密である。さらに、Q は可算集合であるので、R は可分である。対して、整数全体の成す集合 Z は R において疎である。
距離空間は対応する自然な位相構造を持つので、距離空間上でも稠密性を論じることができる。距離空間上の連続関数は、その稠密な部分集合における値によって決まる（例: 有理数べきと指数関数）。また、稠密な部分集合上で定義された一様連続関数は空間全体で定義された連続関数に一意的に延長される。ただし、一様連続でない連続関数を拡張することは一般にはできないことに注意が必要である。
（以上、ウィキペディアより引用）
なんかムカツク言葉だなー。
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